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第十五届大学生数学竞赛第六题解析

KSJ大约 1 分钟

由于今天要备战第十六届，故把第十五届的题做了一下。 其中第六大题（最后一题）的题解比较抽象（“注意到”，是我注意力涣散了）， 如下给出一种更容易理解的思路过程。

题目

设数列xn满足x0=13,xn+1=xn21−xn+xn2,n≥0,证明：无穷级数∑0\infinxn收敛并求值

题解

首先  xn+1=xn21−xn+xn2=xnxn+1xn−1数学归纳有xn>0
xn+1−xn=xn21−xn+xn2−xn=xn(xn−(1−xn+xn2)1−xn+xn2)=−xn1−2xn+xn21−xn+xn2=−xn(xn−1)21−xn+xn2≤0从而xn单调递减又xn+1xn=1xn+1xn−1≤49  (将x0带入)从而xn→0
xn+1=xn21−xn+xn2=xn2−xn+1+xn−11−xn+xn2=1+xn−11−xn+xn2→xn+1−1=xn−11−xn+xn2

而把xn−1和xn+1放在一起感觉用处不大，但是分子太复杂了，所以决定消去

xn+1xn+1−1=xn21−xn+xn2xn−11−xn+xn2=xn2xn−1=(xn−1)2+2(xn−1)+1xn−1=xn−1+2+1xn−1=xn+1+1xn−1⇒xn=1xn+1−1−1xn−1⇒∑i=0nxn=1xn+1−1−1x0−1当n→\infin,∑xn=32−1=12