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第十五届大学生数学竞赛第六题解析

KSJ11/9/24About 2 min

由于今天要备战第十六届，故把第十五届的题做了一下。其中第六大题（最后一题）的题解比较抽象，这里给出更清晰的思路。

题目

设数列 {xn}\{x_n\} 满足 x0=13,  xn+1=xn21−xn+xn2,  n≥0x_0=\frac{1}{3},\; x_{n+1}=\frac{x_n^2}{1-x_n+x_n^2},\; n\ge 0，证明：无穷级数 ∑n=0∞xn\sum_{n=0}^{\infty} x_n 收敛并求值。

题解

首先注意到对于任意 nn，分母 1−xn+xn2>01-x_n+x_n^2>0，因此递推式有意义。易得

xn+1=xn21−xn+xn2=xnxn+1xn−1.x_{n+1}=\frac{x_n^2}{1-x_n+x_n^2}=\frac{x_n}{x_n+\dfrac{1}{x_n}-1}.

由 x0=13>0x_0=\tfrac{1}{3}>0，并用数学归纳法可得到 xn>0x_n>0 对所有 nn 成立。

计算差值：

xn+1−xn=xn21−xn+xn2−xn=xn(xn−(1−xn+xn2)1−xn+xn2)=−xn1−2xn+xn21−xn+xn2=−xn(xn−1)21−xn+xn2≤0.\begin{aligned} x_{n+1}-x_n &= \frac{x_n^2}{1-x_n+x_n^2}-x_n \\ &=x_n\left(\frac{x_n-(1-x_n+x_n^2)}{1-x_n+x_n^2}\right)\\ &=-x_n\frac{1-2x_n+x_n^2}{1-x_n+x_n^2}\\ &=-x_n\frac{(x_n-1)^2}{1-x_n+x_n^2} \le 0. \end{aligned}

因此数列 {xn}\{x_n\} 单调递减且有下界 00，所以收敛。又由上式可得

xn+1xn=1xn+1xn−1≤49,\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{1}{x_n+\dfrac{1}{x_n}-1}\le \frac{4}{9},

所以 xn→0x_n\to 0。

接下来利用分式变换构造望远镜和：

xn+1−1=xn−11−xn+xn2.x_{n+1}-1=\frac{x_n-1}{1-x_n+x_n^2}.

因此

xn+1xn+1−1=xn21−xn+xn2xn−11−xn+xn2=xn2xn−1.\frac{x_{n+1}}{x_{n+1}-1}=\frac{\dfrac{x_n^2}{1-x_n+x_n^2}}{\dfrac{x_n-1}{1-x_n+x_n^2}}=\frac{x_n^2}{x_n-1}.

将分子分解得

xn2xn−1=(xn−1)2+2(xn−1)+1xn−1=xn−1+2+1xn−1.\frac{x_n^2}{x_n-1}=\frac{(x_n-1)^2+2(x_n-1)+1}{x_n-1}=x_n-1+2+\frac{1}{x_n-1}.

由此整理得到

xn=1xn+1−1−1xn−1.x_n=\frac{1}{x_{n+1}-1}-\frac{1}{x_n-1}.

对上式关于 nn 求和（部分和求和），得

∑i=0nxi=1xn+1−1−1x0−1.\sum_{i=0}^n x_i = \frac{1}{x_{n+1}-1}-\frac{1}{x_0-1}.

令 n→∞n\to\infty，由于 xn+1→0x_{n+1}\to 0，可得

∑i=0∞xi=10−1−1x0−1=−1−113−1=−1+32=12.\sum_{i=0}^{\infty} x_i = \frac{1}{0-1}-\frac{1}{x_0-1} = -1 - \frac{1}{\tfrac{1}{3}-1} = -1 + \tfrac{3}{2}=\tfrac{1}{2}.

因此原级数收敛且其和为 12\tfrac{1}{2}。