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共轭与对偶：同一真理的两张脸

"共轭"和"对偶"，这俩词在数学里出现频率高得离谱——复数共轭、Hermitian 共轭、群中共轭、对偶空间、对偶问题、Legendre 对偶……它们是碰巧同名，还是共享着某种深层结构？

笔者一直隐隐觉得这俩有关系，又说不清楚。

所以我跟 AI 聊了一轮，从复数一路干到范畴论，最后把这两者串起来了。非常"啊哈"。这篇就是整理版。

从复数开始

z=a+biz = a + bi，它的共轭是 zˉ=a−bi\bar{z} = a - bi。

KSJ7/20/26About 6 min数学共轭对偶群论线性代数凸优化范畴论数学哲学
ZFC公理集合论系统

ZFC（Zermelo-Fraenkel set theory with the Axiom of Choice，策梅洛-弗兰克尔集合论加选择公理）是现代数学最常用的公理化集合论系统，是数学基础理论的核心。

历史背景

  • 1908年，策梅洛提出最早的集合论公理系统。
  • 后经弗兰克尔和斯科伦等人完善，形成现行的ZFC系统。
  • 选择公理（Axiom of Choice, AC）是ZFC的重要组成部分。

ZFC公理体系（简述）

ZFC包含以下九条基本公理：

  1. 外延公理：集合由其元素唯一确定。
  2. 空集公理：存在不含任何元素的集合（空集）。
  3. 配对公理：任意两个对象有唯一的集合包含它们。
  4. 并集公理：任意集合的所有元素的并也是集合。
  5. 幂集公理：任意集合的所有子集构成的集合（幂集）存在。
  6. 替换公理：集合的像也是集合。
  7. 无穷公理：存在包含空集且对“加一”封闭的集合（自然数的基础）。
  8. 分离公理模式：可用性质从集合中“筛选”出子集。
  9. 正则公理：每个非空集合都含有与自身不相交的元素。
  10. 选择公理：任意集合族都存在一个选择函数。
KSJ7/19/26About 2 min数学
忙碌的河狸

“忙碌的河狸”（Busy Beaver）是理论计算机科学中的一个著名难题：在所有规则数有限、最终会停机的图灵机中，哪台机器能在停机前运行最多步数？

问题简介

  • 1962年，数学家拉多提出“忙碌的河狸”问题，旨在寻找运行时间最长的停机程序。
  • 忙碌的河狸数 BB(n) 表示 n 条规则下，图灵机在停机前能运行的最大步数。
  • 随着规则数增加，图灵机数量呈爆炸式增长，BB(n) 也极其巨大且不可计算。
  • 例如，BB(1)=1，BB(2)=6，BB(3)=21，BB(4)=107，BB(5) 已知下界超过4700万。
KSJ7/19/26About 3 min随笔
pdoc 使用教程

什么是 pdoc？

pdoc 是一个用于为 Python 项目自动生成文档的工具，支持生成 HTML 或 Markdown 格式，适合快速构建 API 文档。

安装

使用 pip 安装 pdoc：

pip install pdoc
KSJ7/19/26Less than 1 minutePythonpdoc文档生成Python教程
PostMan 使用细节与技巧

PostMan 是一款强大的 API 接口调试与自动化测试工具，广泛用于前后端联调、接口文档管理、自动化测试等场景。

常见用法

1. POST 请求

json 传参

  1. 需要手动在 Headers 中携带 Content-Type=application/json 参数
  2. 需要手动在 body 中选择 raw 并填写 json 数据

x-www-form-urlencoded 传参

  • 选择 x-www-form-urlencoded，参数以表单形式填写，PostMan 会自动设置 Content-Type。
KSJ7/19/26About 1 min接口测试
actor 并发模型简介与实践

Actor 模型是一种高度面向对象、无锁、异步、天生支持分布式和容错的并发编程范式。它将系统中的每个实体抽象为 Actor，彼此通过消息传递进行通信。

主要特性

  • 更加面向对象：每个 Actor 封装状态和行为，彼此独立。
  • 无锁：避免传统多线程的锁竞争问题。
  • 异步消息传递：Actor 之间通过异步消息通信，天然适合分布式场景。
  • 天生分布式：Actor 可以分布在不同节点，透明通信。
  • 容错（Let it crash）：Actor 崩溃后可由监控者自动重启，提升系统健壮性。
KSJ7/19/26About 2 min并发actor并发模型erlangrust分布式容错
AutoHotKey 入门与技巧

AutoHotKey（简称 AHK）是一款 Windows 平台下强大的自动化脚本工具，广泛用于快捷键自定义、自动化操作、文本替换、窗口管理等场景。

主要功能

  • 自定义全局或应用快捷键
  • 自动输入文本、批量粘贴
  • 自动化鼠标、键盘操作
  • 窗口管理、批量重命名、自动化办公
  • 脚本可编程，支持条件、循环、函数等

典型应用场景

  • 一键启动常用软件
  • 批量输入常用短语、代码片段
  • 游戏连点、自动挂机
  • Excel/Word/浏览器自动化
KSJ7/19/26About 1 min自动化
CMake 在 Linux/VSCode 下的常见问题与解决

问题描述

CMake Error: Could not create named generator MinGW Makefiles

该错误常见于 VSCode 配置 CMake 项目时，CMake 默认生成器设置为 MinGW Makefiles，但当前环境（如 macOS、Linux）并不支持 MinGW。

解决方法

在 .vscode/settings.json 中指定合适的生成器，例如：

{
  "cmake.generator": "Unix Makefiles"
}
KSJ7/19/26Less than 1 minuteC++
GitHub SSH 连接被拒问题解决

在 Windows（或部分网络环境）下，使用 Git 命令操作 GitHub 项目时，可能遇到如下错误：

ssh: connect to host github.com port 22: Connection refused
KSJ7/19/26About 1 minGit